Question

4．在棱長為1正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F(xiàn)，G分別為DD₁，BD，BB₁的中點，則EF，CG所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{15}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{15}$

Answer 1

分析 取B₁D₁的中點M，連接GM，CM，B₁D．在平面BB₁DD₁上，F(xiàn)E∥B₁D，GM∥B₁D，所以∠CGM（或其補角）為EF與CG所成角，故可求；

解答 解：取B₁D₁的中點M，連接GM，CM，B₁D
在平面BB₁DD₁上，F(xiàn)E∥B₁D，GM∥B₁D，所以∠CGM（或其補角）為EF與CG所成角．
在△CMG中，MG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CG=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，CM=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠CGM=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}-\frac{6}{4}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
∴EF與CG所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$；
故選：D．

點評 本題重點考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線線角，熟練掌握線面垂直的判定與性質(zhì)是關鍵．