Question

（2010•武漢模擬）在△ABC中，過(guò)A向BC邊作垂線交BC邊上一點(diǎn)于D，C=2B，BC=2，AD=

3

2

（1）求BD之長(zhǎng)；
（2）求AC邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，設(shè)BD=x，則DC=2-x，由tanC=tan2B=

2tanB

1-tan2B

 可得

3

2(2-x)

=

2 • 3 2x

1-( 3 2x )2

，解方程求得x的值，即為所求．
（2）在△ABC中，根據(jù)tanB的值，求出角B，即可得到角C，角A的值，根據(jù)AC=BC•sinB 求出結(jié)果．

解答：解：（1）在△ABC中，設(shè)BD=x，則DC=2-x，由題意可得tanB=

3

2x

，tanC=

3

2(2-x)

．
又C=2B，∴tanC=tan2B=

2tanB

1-tan2B

，∴

3

2(2-x)

=

2 • 3 2x

1-( 3 2x )2

．
化簡(jiǎn)可得2x（2-1）=x²-

3

4

，解得 x=

3

2

 或x=-

1

6

 （舍去）．
于是所求BD之長(zhǎng)為

3

2

．…（7分）
（2）在△BDA中，tanB=

3 2

3 2

=

3

3

，則B=

π

6

，C=

π

2

，A=

π

2

．
從而AC=BC•sinB=2•

1

2

=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，三角形中的幾何計(jì)算，屬于中檔題．