Question

 

    已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，定義：

    ，

    。

    其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值。若存在最小正整數(shù)，使得對(duì)任意的成立，則稱(chēng)函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”。

(I)若，試寫(xiě)出，的表達(dá)式；

(II)已知函數(shù)，試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對(duì)應(yīng)的；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(III)已知，函數(shù)是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）由題意可得:

  ,                                   ………………………1分

.                                       ………………………2分

（Ⅱ）,                                       ………………………3分

   ,                                      ………………………4分

,                                ………………………5分

當(dāng)時(shí)，,;

當(dāng)時(shí)，;

當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，                                               ………………………6分

即存在，使得是上的4階收縮函數(shù).                  ………………………7分

（Ⅲ）,令得或.                              

函數(shù)的變化情況如下：

 

令，解得或3.                                      ………………………8分

�。�時(shí)，在上單調(diào)遞增，因此，，.

因?yàn)?sub>是上的2階收縮函數(shù)，

所以，①對(duì)恒成立；

②存在，使得成立.         ………………………9分

①即：對(duì)恒成立，

由，解得：或，

要使對(duì)恒成立，需且只需.          .………………………10分

②即：存在，使得成立.

由得：或，

所以，需且只需.

綜合①②可得：.                                    .………………………11分

ⅱ）當(dāng)時(shí)，顯然有，由于在上單調(diào)遞增，根據(jù)定義可得：

，，

可得 ，                  

此時(shí)，不成立.                               .………………………13分

綜合�。�ⅱ）可得：.        

注：在ⅱ）中只要取區(qū)間（1，2）內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)構(gòu)造反例均可，這里用只是因?yàn)楹?jiǎn)單而已.