Question

18.如圖所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC中點，異面直線

AD與BE所成的角的大小為arccos.求四面體ABCD的體積.

Answer 1

18.解法一：如圖建立空間直角坐標系.             

由題意，有A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0）.

設(shè)D點的坐標為（0，0，z）（z>0），

則＝｛1，1，0｝，＝｛0，－2，z｝. 　　　　　　

設(shè)與所成的角為，

則·＝＝－2，

且AD與BE所成的角的大小為，

∴，

得z=4，故BD的長度是4. 　　　　　　　　　　　　　　　

 

又V_ABCD＝，

因此四面體ABCD的體積是.　　　　　　　　　　　　

解法二：過A引BE的平行線，交CB的延長線于F.

∠DAF是異面直線BE與AD所成的角.

∴∠DAF＝.　　　　　　　　　　　　　　　　

∵E是AC的中點，∴B是CF的中點.

AF＝2BE＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又BF、BA分別是DF、DA的射影，且BF＝BC＝BA，

∴DF＝DA.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

三角形ADF是等腰三角形，

AD＝，

故BD＝.　　　　　　　　　　　　　　　

又V_ABCD＝，

因此四面體ABCD的體積是.