Question

【題目】已知曲線的方程為，集合，若對(duì)于任意的，都存在，使得成立，則稱曲線為曲線.下列方程所表示的曲線中,是曲線的有__________（寫出所有曲線的序號(hào)）

①；②；③；④

Answer 1

【答案】①③

【解析】

將問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)于曲線上任意一點(diǎn)，在曲線上存在著點(diǎn)使得，據(jù)此逐項(xiàng)判斷曲線是否為曲線.

①的圖象既關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱，且圖象是封閉圖形，

所以對(duì)于任意的點(diǎn)，存在著點(diǎn)使得，所以①滿足；

②的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為，所以漸近線將平面分為四個(gè)夾角為的區(qū)域，

當(dāng)在雙曲線同一支上，此時(shí)，當(dāng)不在雙曲線同一支上，此時(shí)，

所以，不滿足，故②不滿足；

③的圖象是焦點(diǎn)在軸上的拋物線，且關(guān)于軸對(duì)稱，連接，再過點(diǎn)作的垂線，

則垂線一定與拋物線交于點(diǎn)，所以，所以，所以③滿足；

④取，若，則有，顯然不成立，所以此時(shí)不成立，所以④不滿足.

故答案為：①③.