Question

8．如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，若BC=2，AD=4，且∠ABD=∠ACD=60°，則四面體ABCD的體積的最大值是$\frac{4}{3}\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 作BE⊥AD于E，連接CE，取BC中點F，推出四面體ABCD的體積的最大值，當(dāng)△ABD是等腰三角形時幾何體的體積最大，求解即可．

解答 解：作BE⊥AD于E，連接CE，則AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，
取BC中點F，所以EF⊥BC，EF⊥AD，四面體ABCD的體積的最大值，只需EF最大即可，即需BE最大，
當(dāng)△ABD是等腰三角形時BE最大，BE=CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$，所以EF=$\sqrt{12-1}$=$\sqrt{11}$，
故四面體ABCD的體積的最大值為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{11}×4$=$\frac{4}{3}\sqrt{11}$
故答案為：$\frac{4}{3}\sqrt{11}$．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力，邏輯推理能力以及計算能力．