Question

17．對(duì)于以下四個(gè)命題：
①若函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則log_a2＜0；
②設(shè)函數(shù)f（x）=2x+$\frac{1}{2x}$-1（x＜0），則函數(shù)f（x）有最小值1；
③若向量$\overrightarrow a=（1，k）$，$\overrightarrow b=（-2，6）$，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則k=-3；
④函數(shù)y=（sinx+cosx）²-1的最小正周期是2π．
其中正確命題的序號(hào)是①③．

Answer 1

分析 利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍，進(jìn)一步結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷①；利用基本不等式求得函數(shù)的最大值，判定函數(shù)無(wú)最小值判斷②；利用向量共線的坐標(biāo)表示求出k的值判斷③；直接求出函數(shù)的周期判斷④．

解答 解：對(duì)于①，若函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則0＜a＜1，∴l(xiāng)og_a2＜0，故①正確；
對(duì)于②，函數(shù)f（x）=2x+$\frac{1}{2x}$-1（x＜0）=-[（-2x）+（$\frac{1}{-2x}$）]-1$≤-2\sqrt{（-2x）•\frac{1}{-2x}}-1=-3$，當(dāng)且僅當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時(shí)取“=”，
∴函數(shù)f（x）有最大值-3，無(wú)最小值，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，若向量$\overrightarrow a=（1，k）$，$\overrightarrow b=（-2，6）$，且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則1×6+2k=0，解得k=-3，故③正確；
對(duì)于④，函數(shù)y=（sinx+cosx）²-1=1+2sinxcosx-1=sin2x，其最小正周期是π，故④錯(cuò)誤．
∴正確命題的序號(hào)是①③．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了函數(shù)的最值及周期的求法，是中檔題．