Question

（本小題滿分12分）已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，其左、右焦點分別是F₁、F₂，點P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，且｜OP｜＝，·＝（點O為坐標(biāo)原點）．

   （Ⅰ）求橢圓C的方程；

   （Ⅱ）直線y＝x與橢圓C在第一象限交于A點，若橢圓C上兩點M、N使＋＝λ，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)則由得，

由得，即  ………2分

所以，又因為，所以                    ………3分

橢圓C的方程為：；                                 ……….4分

（Ⅱ）解法一:由得，

設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組

消去y得：                     ………5分

設(shè),

則                            ………6分

              

∵，∴，

得,于是        ………8分

     

 ………9分

到直線的距離為

∴，

當(dāng),即時等號成立，的最大值為         ………12分

解法二:由得，

設(shè)則

∴…………①                ………5分

∵，

∴，代入①得，              ………6分

設(shè)直線的方程為          ………7分

橢圓方程得  

，

                           ……….9分

到直線的距離為

∴，                        ………11分

當(dāng)時等號成立，的最大值為                    ………12分