Question

20．已知集合A={x|x•（x-2）≤0}，B={x|（$\frac{1}{2}$）^mx-2＞2}．
（1）若m=2，求A∩∁_RB；
（2）若A∪B=B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出集合A，B，再求出集合B的補(bǔ)集，根據(jù)交集的運(yùn)算求出答案；
（2）A∪B=B，A⊆B，分類討論，即可求出m的范圍．

解答 解：（1）集合A={x|x•（x-2）≤0}=[0，2]，B={x|（$\frac{1}{2}$）^mx-2＞2}={x|mx＜1}，
∵（$\frac{1}{2}$）^mx-2＞2，
∴（$\frac{1}{2}$）^mx-2＞（$\frac{1}{2}$）^-1，
∴mx-2＜-1，
∴mx＜1，
∴B={x|mx＜1}，
當(dāng)m=2時，B=（-∞，$\frac{1}{2}$），
∴∁_RB=[$\frac{1}{2}$，+∞），
∴A∩∁_RB=[$\frac{1}{2}$，2]；
（2）∵A∪B=B，
∴A⊆B，
當(dāng)m＞0時，B=（-∞，$\frac{1}{m}$），
∴$\frac{1}{m}$＞2，
解得0＜m＜$\frac{1}{2}$，
當(dāng)m＜0時，B=（$\frac{1}{m}$，+∞），
∴$\frac{1}{m}$＜0，
解得m＜0，
當(dāng)m=0時，B=R，滿足題意，
綜上所述，m的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查補(bǔ)集的定義和求法，兩個集合的交集的定義和求法，屬于中檔題．