Question

已知函數(shù)（）在處的切線的斜率為。

⑴求函數(shù)的解析式并求單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)，其中，問(wèn)：對(duì)于任意的,方程在區(qū)間上是否存在實(shí)數(shù)根？若存在，請(qǐng)確定實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：⑴由已知得 

      所以 

      故  即

由得或

由得

故單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.

⑵假設(shè)方程在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)根

設(shè)是方程的實(shí)根，,

   令,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程=0

在上有實(shí)根,并討論解的個(gè)數(shù)

   因?yàn)?sub>,,

所以

   ①當(dāng)時(shí),,所以在上有解,且只有一解

②當(dāng)時(shí),,但由于,

所以在上有解,且有兩解

③當(dāng)時(shí),,所以在上有且只有一解；

當(dāng)時(shí),,

所以在上也有且只有一解

綜上所述, 對(duì)于任意的,方程在區(qū)間上均有實(shí)數(shù)根

且當(dāng)時(shí),有唯一的實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí),有兩個(gè)實(shí)數(shù)解