Question

10．是否存在a，b，c使等式（$\frac{1}{n}$）²+（$\frac{2}{n}$）²+（$\frac{3}{n}$）²+…+（$\frac{n}{n}$）²=$\frac{a{n}^{2}+bn+c}{n}$對(duì)一切n∈N^*都成立若不存在，說(shuō)明理由；若存在，用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 分別取n=1，2，3，得到關(guān)于a，b，c的方程組解得即可，先根據(jù)當(dāng)n=1時(shí)，把n=1代入求值等式成立；再假設(shè)n=k時(shí)關(guān)系成立，利用變形可得n=k+1時(shí)關(guān)系也成立，綜合得到對(duì)于任意n∈N^*時(shí)都成立

解答 解：取n=1，2，3可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{8a+4b+2c=5}\\{27a+9b+3c=14}\end{array}\right.$解得：a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{6}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（$\frac{1}{n}$）²+（$\frac{2}{n}$）²+（$\frac{3}{n}$）²+…+（$\frac{n}{n}$）²=$\frac{2{n}^{2}+3n+1}{6n}$=$\frac{（n+1）（2n+1）}{6n}$．
即證1²+2²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1），
①n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，∴等式成立；
②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1²+2²+…+k²=$\frac{1}{6}$k（k+1）（2k+1）成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左邊=1²+2²+…+k²+（k+1）²═$\frac{1}{6}$k（k+1）（2k+1）+（k+1）²=$\frac{1}{6}$[k（k+1）（2k+1）+6（k+1）²]=$\frac{1}{6}$（k+1）（2k²+7k+6）=$\frac{1}{6}$（k+1）（k+2）（2k+3），
∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立；
由數(shù)學(xué)歸納法，綜合①②當(dāng)n∈N^*等式成立，
故存在a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{6}$使已知等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查歸納推理，數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)列的通項(xiàng)等相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力、推理論證能力和化歸思想