Question

19．已知無窮等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，公比為q（q＞0），S_n是數(shù)列的前n項的和，記T_n=a₂+a₄+a₆+…+a_2n，求$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$的值．

Answer 1

分析 對q分類討論，利用等比數(shù)列的前n項和公式可得S_n，T_n，再利用數(shù)列極限法則即可得出．

解答 解：當(dāng)q=1時，S_n=n，T_n=n，∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{n}$=1．
當(dāng)q≠1時，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，T_n=$\frac{{a}_{1}q（1-{q}^{2n}）}{1-{q}^{2}}$，∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+q}{q（1+{q}^{n}）}$．
當(dāng)0＜q＜1時，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{1+q}{q}$．
當(dāng)1＜q時，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=0．
綜上可得：$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，q=1}\\{\frac{1+q}{q}，0＜q＜1}\\{0，q＞1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、數(shù)列極限運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．