Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在其定義域內為增函數，求實數的取值范圍；

（3）設函數，若在上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）由題意得導函數在其定義域內恒非負，再根據二次方程恒成立條件得實數的取值范圍；（2）將不等式有解問題，利用參變分離法轉化為對應函數最值問題，再利用導數求對應函數最值，即得實數的取值范圍.

試題解析：（1）， ，

因為函數在其定義域內為增函數，

所以， 恒成立，

當時，顯然不成立；

當時， ，要滿足， 時恒成立，則，

∴.

（2）設函數， ，

則原問題轉化為在上至少存在一點，使得，即.

①時， ，

∵，∴， ， ，則，不符合條件；

②時， ，

由，可知，

則在單調遞增， ，整理得.

綜上所述， .