Question

11．如圖，某人在一小斜坡上的點P（坡高h=10m）觀看對面一座大樓頂上的廣告畫，畫高BC=8m，畫所在的大樓高OB=22m，OA=20m，圖上所示的山坡坡面可視為直線l，且點P在直線l上，l與水平地面的夾角為α，tanα=$\frac{1}{2}$．試問：此人所在的點P距水平地面多高時，觀看廣告畫的視角∠BPC最大？（不計此人身高，樓OB與斜坡l在同一平面內）

Answer 1

分析 過P作OB的垂線PM，設PM=x，用x表示出tan∠CPM，tan∠BPM，使用差角的正切公式求出tan∠CPB關于x的函數(shù)，使用基本不等式得出tan∠CPB的最值及等號成立的條件．

解答 解：過P點作PM⊥OB于M，設OM=x，（0≤x≤10），則BM=22-x，CM=30-x．PM=20+2x．
∴tan∠CPM=$\frac{CM}{PM}$=$\frac{30-x}{20+2x}$，tan∠BPM=$\frac{BM}{PM}=\frac{22-x}{20+2x}$．
∴tan∠CPB=$\frac{tan∠CPM-tan∠BPM}{1+tan∠CPM•tan∠BPM}$=$\frac{\frac{30-x}{20+2x}-\frac{22-x}{20+2x}}{1+\frac{30-x}{20+2x}×\frac{22-x}{20+2x}}$=$\frac{16（x+10）}{5{x}^{2}+28x+1060}$=$\frac{16}{5（x+10）+\frac{1280}{x+10}-72}$≤$\frac{16}{2\sqrt{5×1280}-72}$=$\frac{2}{11}$．
當且僅當5（x+10）=$\frac{1280}{x+10}$即x=6時，tan∠CPB取得最大值，即∠CPB最大．
∴此人所在的點P距水平地面6m時，觀看廣告畫的視角∠BPC最大．

點評 本題考查了解三角形，基本不等式，函數(shù)的最值，屬于中檔題．