Question

13．（1）已知2sinx=sin（$\frac{π}{2}$-x），求$\frac{cos2x}{1+sin2x}$的值；
（2）求函數(shù)f（x）=ln（sinx-$\frac{1}{2}$）+$\sqrt{1-tanx}$的定義域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件得到cosx=2sinx，利用1的代換進(jìn)行化簡即可．
（2）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)的定義域．

解答 解：（1）∵2sinx=sin（$\frac{π}{2}$-x）=cosx，
∴$\frac{cos2x}{1+sin2x}$=$\frac{cos^2x-sin^2x}{sin^2x+cos^2x+2sinxcosx}$=$\frac{4sin^2x-sin^2x}{sin^2x+4sin^2x+4sin^2x}$=$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$．
（2）要使函數(shù)有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{sinx-\frac{1}{2}＞0}\\{1-tanx≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{sinx＞\frac{1}{2}}\\{tanx≤1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2kπ+\frac{π}{6}＜x＜2kπ+\frac{5π}{6}，k∈Z}\\{kπ-\frac{π}{2}＜x≤kπ+\frac{π}{4}，k∈Z}\end{array}\right.$，
即2kπ+$\frac{π}{6}$＜x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，或2kπ+$\frac{π}{2}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即函數(shù)的定義域為（2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]∪（2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$），k∈Z．

點評 本題主要考查函數(shù)定義域的求解以及三角函數(shù)值的化簡和求解，利用1的代換是解決本題的關(guān)鍵．