Question

（本小題滿分12分）

已知圓的方程為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）求過點(diǎn)的圓的切線方程；

（Ⅱ）若圓上有兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，并且滿足，求

的值和直線的方程；

（Ⅲ）過點(diǎn)作直線與圓交于兩點(diǎn)，求的最大面積以及此時直線的斜率.

 

Answer 1

【答案】

 

(1)

(2)

(3) 的最大面積為8，此時直線的斜率為.

【解析】解：（Ⅰ）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑

設(shè)過點(diǎn)的切方程為，即，

則，解得

切線方程為                                       ----------------3分

當(dāng)斜率不存在時，也符合題意.

故求過點(diǎn)的圓的切線方程為：或.    ----------------4分

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上且關(guān)于直線對稱，

∴圓心在直線上，代入得.------------------------------5分

因?yàn)橹本�與直線垂直，

所以可以設(shè)，方程為.

將直線代入圓C的方程，得.------------------------------------------6分

,得.

由根與系數(shù)的關(guān)系得

   

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052300113587503163/SYS201205230013333593440572_DA.files/image029.png">

所以

即,解得,

故所求的直線方程為.--------------------------------8分

（Ⅲ）當(dāng)直線的斜率不存在時,,               ----------------------------9分

當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為，即，

圓心到直線的距離，線段的長度，

所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，解得

所以，的最大面積為8，此時直線的斜率為.      --------12分