Question

已知向量

a

=（-1，cosωx+

3

sinωx），

b

=（f（x），cosωx），其中ω＞0，且

a

⊥

b

，又f（x）的圖象兩相鄰對稱軸的距離為

3

2

π．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由向量垂直可得數(shù)量積為0，代入可得函數(shù)解析式，由題意可得周期，進(jìn)而可得ω的值；
（2）先由2kπ+

π

2

≤

2x

3

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

   ，k∈Z解得總的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合x∈[0，2π]，可得答案．

解答： 解：（1）由題意

a

•

b

=0，
∴f（x）=cosωx（cosωx+

3

sinωx）
=

1+cosωx

2

+

3 sin2ωx

2

=

1

2

+sin(2ωx+

π

6

)
由題意，函數(shù)周期為3π，又ω＞0，∴ω=

1

3

；
（2）由（1）知f（x）=

1

2

+sin(

2

3

x+

π

6

)，
由2kπ+

π

2

≤

2x

3

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

   ，k∈Z
可得3kπ+

π

2

≤x≤3kπ+2π   ，k∈Z，
又x∈[0，2π]，
∴f（x）的減區(qū)間是[

π

2

，2π]．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，涉及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．