Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為PA，BD中點(diǎn)，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角E-DF-A的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC．通過證明EF∥PC，利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面PBC．
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面EFD的一個法向量是

n

，利用|cos＜

OP

，

n

＞|=

| OP • n |

| OP |•| n |

求解二面角E-DF-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，連結(jié)AC．
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AC與BD互相平分．
又因?yàn)镕是BD中點(diǎn)，所以F是AC中點(diǎn)．
在△PAC中，E是PA中點(diǎn)，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，
所以EF∥PC，又因?yàn)镋F?平面PBC，
所以EF∥平面PBC；…（5分）
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)O，在△PAD中，因?yàn)镻A=PD，所以PO⊥AD．
因?yàn)槊鍼AD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，
所以PO⊥面ABCD，因?yàn)镺F?平面ABCD，所以PO⊥OF．
又因?yàn)镕是AC中點(diǎn)，所以O(shè)F⊥AD．
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)镻A=PD=AD=2，所以OP=

3

，則有O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），D（-1，0，0），P(0，0，

3

)，E(

1

2

，0，

3

2

)，F(xiàn)（0，1，0）
于是

AB

=(0，2，0)，

DE

=(

3

2

，0，

3

2

)，

DF

=(1，1，0)．
顯然

OP

=(0，0，

3

)是平面FAD的一個法向量．
設(shè)平面EFD的一個法向量是

n

=（x，y，z）．
故

n • DE =0 n • DF =0

即

x+y=0 3 2 x+ 3 2 z=0，

令x=1則

n

=(1，-1，-

3

)．
所以|cos＜

OP

，

n

＞|=

| OP • n |

| OP |•| n |

=

|-3|

3 • 5

=

15

5

．
由圖可知，二面角E-DF-A為銳角，所以其余弦值為

15

5

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查空間向量求解二面角的大小，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．