Question

已知數(shù)列{ }、{ }滿足：.
（1）求
（2）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求數(shù)列和{ }的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)，求實(shí)數(shù)為何值時(shí) 恒成立.

Answer 1

（1） ；（2） ， ；

解析試題分析：（1）由，
可求出 ；
（2）扣住等差數(shù)列的定義，從定義出發(fā)進(jìn)行證明，
利用條件推導(dǎo)出，即得證：
∵
∴，
∴
∴ 數(shù)列{}是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
∴  
  ∴
（3）借助前兩問，利用裂項(xiàng)求和法，可得出
，問題轉(zhuǎn)化為
設(shè)f(n)= <0，恒成立問題，
對(duì)進(jìn)行討論，分三種情況，從而可得出答案，見詳解.
試題解析：（1） ∵     ∴ 
（2）∵
∴，
∴，  ∴
∴ 數(shù)列{}是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
∴  
  ∴
（3）已知  ，所以


由條件可知恒成立即可滿足條件.
設(shè)f(n)=
當(dāng)=1時(shí)，f(n)=-3n-8<0恒成立；
當(dāng)>1時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立；
當(dāng)<1時(shí)，對(duì)稱軸，f(1)在為單調(diào)遞減函數(shù)，
f(1)= ==4-15<0
所以<  
所以<1時(shí)恒成立
綜上知，時(shí) ，恒成立 .
考點(diǎn)：等差數(shù)列，等比數(shù)列，二次函數(shù)，分類討論.