Question

【題目】函數(shù)f（x）=6cos2 sinωx﹣3（ω＞0）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為正三角形．

（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x0）= ，且x0∈（﹣ ），求f（x0+1）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得，f（x）=3cosωx+ sinωx=2 sin（ωx+ ），

又正三角形ABC的高為2 ，從而BC=4，

∴函數(shù)f（x）的周期T=4×2=8，即 =8，ω= ，

∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇﹣2 ，2 ]．

（2）解：∵f（x0）= ，由（Ⅰ）有f（x0）=2 sin（ x0+ ）= ，

即sin（ x0+ ）= ，由x0∈（﹣ ），知 x0+ ∈（﹣ ， ），

∴cos（ x0+ ）= = ．

∴f（x0+1）=2 sin（ x0+ + ）=2 sin[（ x0+ ）+ ]=2 [sin（ x0+ ）cos +cos（ x0+ ）sin ]

=2 （ × + × ）

= ．

【解析】（1）將f（x）化簡為f（x）=2 sin（ωx+ ），利用正弦函數(shù)的周期公式與性質(zhì)可求ω的值及函數(shù)f（x）的值域；（2）由x0∈（﹣ ），知 x0+ ∈（﹣ ， ），由 ，可求得即sin（ x0+ ）= ，利用兩角和的正弦公式即可求得f（x0+1）．