Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且（n+1）a +anan+1﹣na =0對(duì)n∈N*都成立．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；、
（2）記bn=a2n﹣1a2n+1 ， 數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 證明：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：（n+1）a +anan+1﹣na =0對(duì)n∈N*都成立．

∴[（n+1）an+1﹣nan]（an+1+an）=0，∵an+1+an＞0，

∴（n+1）an+1﹣nan=0，即 = ．

∴an= … = … 1= ．

（2）解：證明：bn=a2n﹣1a2n+1= = ．

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn= +…+

= ．

即Tn＜ ．

【解析】（1）利用分解因式可得（n+1）an+1﹣nan=0，再變形，利用累乘法可得{an}的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)法可得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，進(jìn)而可證Tn<．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．