Question

（本小題12分）如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)。

（1）證明：面PAD面PCD；

（2）求AC與PB所成角的余弦值。

Answer 1

（1）見解析；（2） ．

【解析】

試題分析：方法一：∵PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD長(zhǎng)為長(zhǎng)度單位，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0,0,0）、B（0,2,0）、C（1,1,0）、D（1,0,0）、P（0,0,1）、M（0,1, ）．

（1）證明：∵∴，

∴AP⊥DC．

又 由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，

∴DC⊥面PAD．

又∵DC平面PCD，故面PAD⊥面PCD．

（2）【解析】
∵∴

∴,

故AC與PB所成的角的余弦值為．

方法二：（1）證明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，∵∠DAB=90°，∴DA⊥AB，又PA∩DA=A，∴,

PA，DA面PAD．∴AB⊥平面PAD．

又AB∥CD

∴DC⊥平面PAD．

DC面PCD，∴面PAD⊥面PCD．

（2）分別取BC，AB，PA中點(diǎn)為E，F(xiàn)，G，連結(jié)EF，F(xiàn)G，GE，AE，

∵BE=CE，BF=AF，∴EF∥AC，同理可得GF∥PB，

則∠PFE（或其補(bǔ)角）即為所求．

∵連結(jié)AE,可知AC=CB=BE=AE=2．

又 ，AB=2,，∴∠ACB=90°，又，∴，

∵∠PAE=90°，，∴,∵

∴，故AC與PB所成的角的余弦值為．

考點(diǎn)：考查了面面垂直的判定，異面直線所成的角

點(diǎn)評(píng)：此題可以應(yīng)用空間向量研究線線關(guān)系，證明線線垂直，求線線角；也可以利用面面垂直的判定定理證明，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角