Question

在正三棱柱ABCA1B1C1中，點D是BC的中點，BC＝BB1.

(1)若P是CC1上任一點，求證：AP不可能與平面BCC1B1垂直；

(2)試在棱CC1上找一點M，使MB⊥AB1.

 

Answer 1

（1）見解析（2）M為CC1的中點

【解析】(1)證明：反證法．假設AP⊥平面BCC1B1，

因為BC平面BCC1B1，所以AP⊥BC.

又正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥BC，AP∩CC1＝P，AP平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.

而AC平面ACC1A1，所以BC⊥AC，這與△ABC是正三角形矛盾．

故AP不可能與平面BCC1B1垂直．

(2)M為CC1的中點．

證明：∵在正三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝BB1，∴四邊形BCC1B1是正方形．

∵M為CC1的中點，D是BC的中點，∴△B1BD≌△BCM，∴∠BB1D＝∠CBM，∠BDB1＝∠CMB.

∵∠BB1D＋∠BDB1＝，∠CBM＋∠BDB1＝，∴BM⊥B1D.

∵△ABC是正三角形，D是BC的中點，∴AD⊥BC.

∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD平面ABC，

∴AD⊥平面BB1C1C.

∵BM平面BB1C1C，∴AD⊥BM.

∵AD∩B1D＝D，∴BM⊥平面AB1D.

∵AB1平面AB1D，∴MB⊥AB1.