Question

20．已知A（1，0），B（0，2），C（cosα，sinα），（0＜α＜π）．
（Ⅰ）若$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}|=\sqrt{2+\sqrt{3}}$（O為坐標原點），求$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，求3sinα-cosα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知點的坐標求得向量的坐標，代入向量模的公式求得cosα，進一步求得sinα，再由數量積求夾角公式求得$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，可得2sinα+cosα=1．結合平方關系求得sinα、cosα的值，則3sinα-cosα的值可求．

解答 解：（Ⅰ）∵A（1，0），C（cosα，sinα），
∴$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}|=|（1+cosα，sinα）|=\sqrt{{{（1+cosα）}^2}+{{sin}^2}α}=\sqrt{2+2cosα}=\sqrt{2+\sqrt{3}}$，
解得：$cosα=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又∵0＜α＜π，∴$α=\frac{π}{6}$，$sinα=\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{OC}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，又$\overrightarrow{OB}=（0，2）$，
設$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為θ，則0≤θ≤π；
∴$cosθ=\frac{{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}}{{|\overrightarrow{OB}|•|\overrightarrow{OC}|}}=\frac{1}{2}$，則$θ=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AC}=（cosα-1，sinα）$，$\overrightarrow{BC}=（cosα，sinα-2）$，
且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=（cosα-1）cosα+sinα（sinα-2）=0$，
∴2sinα+cosα=1．
平方得：4sinαcosα=-3sin²α＜0，
又0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，
又sin²α+cos²α=1．∴$sinα=\frac{4}{5}，cosα=-\frac{3}{5}$．
∴3sinα-cosα=$3×\frac{4}{5}-（-\frac{3}{5}）$=3．

點評 本題考查平面向量的坐標運算，考查了利用平面向量數量積求向量的夾角，訓練了三角函數值的求法，是中檔題．