Question

（文）已知a＞b＞c且

4

a-b

+

1

b-c

+

k

c-a

≥0恒成立，則k的最大值是（　　）

A．4

B．8

C．9

D．25

Answer 1

分析：由已知，k只需小于等于

4(a-c)

a-b

+

(a-c)

b-c

的最小值即可．再利用基本不等式求出

4(a-c)

a-b

+

(a-c)

b-c

的最小值．

解答：解：∵a＞b＞c，∴a-b＞0，b-c＞0，a-c＞0．
由

4

a-b

+

1

b-c

+

k

c-a

≥0得

4

a-b

+

1

b-c

≥

k

a-c

即

4(a-c)

a-b

+

(a-c)

b-c

≥k，
k只需小于等于

4(a-c)

a-b

+

(a-c)

b-c

的最小值即可．
因?yàn)?span id="eg2g2eo" class="MathJye">

4(a-c)

a-b

+

(a-c)

b-c

=

4[(a-b)+(b-c)]

a-b

+

(a-b)+(b-c)

b-c

=4+

4(b-c)

a-b

+

(a-b)

b-c

+1
≥4+2

4(b-c) a-b • (a-b) b-c

+1
=9
當(dāng)且僅當(dāng)

4(b-c)

a-b

=

(a-b)

b-c

時(shí)取到等號(hào)，
所以k≤9，
k的最大值是9
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題是道不等式恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)思想，分離參數(shù)方法，以及基本不等式的應(yīng)用．考查運(yùn)算求解能力．是道好題．