Question

【題目】若P為橢圓 =1上任意一點，F1 ， F2為左、右焦點，如圖所示．

（1）若PF1的中點為M，求證：|MO|=5﹣ |PF1|；
（2）若∠F1PF2=60°，求|PF1||PF2|之值；
（3）橢圓上是否存在點P，使 =0，若存在，求出P點的坐標，若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△F1PF2中，MO為中位線，

∴|MO|= =

=a﹣ =5﹣ |PF1|

（2）解：∵|PF1|+|PF2|=10，

∴|PF1|2+|PF2|2=100﹣2|PF1||PF2|，

在△PF1F2中，cos 60°= ，

∴|PF1||PF2|=100﹣2|PF1||PF2|﹣36，

∴|PF1||PF2|= ．

（3）解：設點P（x0，y0），則 ．①

易知F1（﹣3，0），F2（3，0），故 =（﹣3﹣x0，﹣y0）， =（3﹣x0，﹣y0），

∵ =0，

∴x ﹣9+y =0，②

由①②組成方程組，此方程組無解，故這樣的點P不存在．

【解析】（1）在△F1PF2中，MO為中位線，根據三角形的中位線定理再結合橢圓的定義即可得出答案；（2）先利用橢圓的定義得到：|PF1|+|PF2|=10，再在△PF1F2中利用余弦定理得出cos 60°= ，兩者結合即可求得|PF1||PF2|；（3）先設點P（x0 ， y0），根據橢圓的性質，易知F1（﹣3，0），F2（3，0），寫出向量的坐標再結合向量垂直的條件得出關于P點坐標的方程組，由此方程組無解，故這樣的點P不存在．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．