Question

已知函數(shù)（其中為常數(shù)）.

（I）當(dāng)時，求函數(shù)的最值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性.

 

Answer 1

【答案】

（I）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，無最大值；（Ⅱ）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．

【解析】

試題分析：（I）由已知條件，寫出當(dāng)時，函數(shù)的解析式，先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令和，分別求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，最后可求得函數(shù)的最值；（Ⅱ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，再觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時，由，得，解這個方程，討論可得函數(shù)的單調(diào)性．

試題解析：（I）的定義域為，當(dāng)時，， ．                           2分

由，得，由，得，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值，

無最大值.                                           4分

（Ⅱ）．                  5分

當(dāng)時，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增；               6分

當(dāng)時，由得，解得，．      7分

當(dāng)時，，由得，

在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間和上單調(diào)遞增                    9分

當(dāng)時，，由得，在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．   13分

考點：1．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；2．函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性．