Question

已知指數(shù)函數(shù)g（x）=a^x滿足：g(-3)=

1

8

，定義域為R的函數(shù)f(x)=

g(x)-1

g(x)+m

是奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在其定義域上的單調性，并求函數(shù)的值域；
（3）若不等式：t•f（x）≥4^x-2^x+2+3對x∈[1，2]恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）直接由g(-3)=

1

8

，求得a的值，得到g（x）的解析式，則f（x）可求，利用函數(shù)奇偶性的定義證明f（x）為奇函數(shù)；
（2）∵2^x是定義域上的增函數(shù)，∴-

2

2x+1

是定義域上的減函數(shù)，從而得到函數(shù)f（x）的單調性，由指數(shù)函數(shù)的值域求得f（x）的值域；
（3）把f（x）的解析式代入t•f（x）≥4^x-2^x+2+3，分離變量t后利用配方法求得（2^x）²-2•2^x-3在[1，2]
上的值域，從而求得實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵g（x）=a^x，
由g(-3)=

1

8

⇒a-3=

1

8

⇒a=2，∴f(x)=

2x-1

2x+m

，
又f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），即

2-x-1

2-x+m

=-

2x-1

2x+m

，
化簡得1+m•2^x=2^x+m對x∈R恒成立，∴m=1，
故f(x)=

2x-1

2x+1

；
（2）f(x)=1-

2

2x+1

，其定義域為R，
由2^x為增函數(shù)可知f（x）是R上的增函數(shù)，
∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，-2＜

-2

2x+1

＜0，∴-1＜f（x）＜1，
即函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；
（3）t•f（x）≥4^x-2^x+2+3對x∈[1，2]恒成立，
等價于t≥（2^x）²-2•2^x-3對x∈[1，2]恒成立，
而在[1，2]上（2^x）²-2•2^x-3=（2^x-1）²-4的最大值為5．
故t≥5．

點評：本題考查指數(shù)函數(shù)性質，訓練了函數(shù)奇偶性的判斷方法，考查了復合函數(shù)單調性的判斷方法，考查了恒成立問題，解決含有字母參數(shù)的恒成立問題，關鍵在于轉化，即轉化為求函數(shù)最值問題，然后利用配方法或借助于函數(shù)的單調性求解，是中檔題．