Question

已知方程x³+2ax²+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三個實根可分別作為一橢圓，一雙曲線、一拋物線的離心率，則

a2+b2

的取值范圍是（　�。�

• A、(

  10

  3

  ，+∞)
• B、[

  10

  3

• C、(

  10

  ，+∞)
• D、[

  10

  ，+∞)

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合,函數(shù)的零點,函數(shù)的零點與方程根的關系,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：導數(shù)的綜合應用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用拋物線的離心率為1，求出c=-1-2a-3b，分解函數(shù)的表達式為一個一次因式與一個二次因式的乘積，通過函數(shù)的零點即可推出a，b的關系，求解a²+b²的取值范圍即可．

解答： 解：設f（x）=x³+2ax²+3bx+c，由拋物線的離心率為1，可知f（1）=1+2a+3b+c=0，故c=-1-2a-3b，
所以f（x）=（x-1）[x²+（2a+1）x+（2a+3b+1）]的另外兩個根分別是一個橢圓一個雙曲線的離心率，
故g（x）=x²+（2a+1）x+（2a+3b+1），有兩個分別屬于（0，1），（1，+∞）的零點，
故有g(shù)（0）＞0，g（1）＜0，即2a+3b+1＞0且4a+3b+3＜0，
則a，b滿足的可行域如圖所示，
由于

2a+3b+1=0 4a+3b+3=0

，則P（-1，

1

3

）
而

a2+b2

表示（a，b）到（0，0）的距離，
且（0，0）到P（-1，

1

3

）的距離為d=

(-1)2+( 1 3 )2

=

10

3

可確定

a2+b2

的取值范圍是（

10

3

，+∞）．
故答案為：A．

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系，簡單線性規(guī)劃，考查計算能力．