Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

1+x

-lnx，則有下列結(jié)論中錯誤的是（　�。�

• A、?x₀∈R，f（x）=0
• B、若x₀是f（x）的最大值點，則f（x₀）=x₀
• C、若x₀是f（x）的最大值點，則f（x₀）＜

  1

  2

• D、若x₀是f（x）的極大值點，則f（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：先求函數(shù)f（x）=

lnx

1+x

-lnx的定義域為（0，+∞），再求導并化簡f′（x）=

1

x

（

1

1+x

-1）-lnx

1

(1+x)2

=-

lnx+x+1

(1+x)2

；從而對四個選項判斷即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

lnx

1+x

-lnx的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

1

x

（

1

1+x

-1）-lnx

1

(1+x)2

=-

lnx+x+1

(1+x)2

；
∵f（1）=0，故A正確；
∵令y=lnx+x+1，
則存在x₀∈（0，

1

2

），使lnx₀+x₀+1=0；
又∵y=lnx+x+1是增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=

lnx

1+x

-lnx在（0，x₀）上是增函數(shù)，在（x₀，+∞）上是減函數(shù)；
故當x=x₀時，f（x）有最大值為f（x₀）=ln（x₀）（

1

1+x0

-1）=x₀；故B正確；
由以上分析知，C正確；
D不正確；
故選D．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．