Question

如圖所示，在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝1，AA₁＝2，M是棱CC₁的中點．

(1)求異面直線A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；

(2)證明：平面ABM⊥平面A₁B₁M.

Answer 1

方法1：(1)如圖，因為C₁D₁∥B₁A₁，所以∠MA₁B₁為異面直線A₁M與C₁D₁所成的角．

因為A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，所以∠A₁B₁M＝90°，

而A₁B₁＝1，B₁M＝＝，故

tan∠MA₁B₁＝＝.

即異面直線A₁M和C₁D₁所成的角的正切值為.

(2)證明：由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BM⊂平面平面BCC₁B₁，得A₁B₁⊥BM①

由(1)知，B₁M＝，

又BM＝＝，B₁B＝2，

所以B₁M²＋BM²＝B₁B²，從而BM⊥B₁M②

又A₁B₁∩B₁M＝B₁，∴BM⊥平面A₁B₁M，而BM⊂平面ABM，因此平面ABM⊥平面A₁B₁M.

方法2：以A為原點，，，的方向分別作為x、y、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，A₁(0,0,2)，B₁(1,0,2)，C₁(1,1,2)，D₁(0,1,2)，M(1,1,1)．

設異面直線A₁M與C₁D₁所成角為α，則cosα＝，

∴tanα＝.

即異面直線A₁M和C₁D₁所成的角的正切值是.

又B₁M∩A₁B₁＝B₁，

∴BM⊥平面A₁B₁M，而BM⊂平面ABM，

因此ABM⊥平面A₁B₁M.