Question

 

設(shè)是定義在實(shí)數(shù)上的函數(shù)，是定義在正整數(shù)上的函數(shù)，同時(shí)滿足下列條件：

   （1）任意，有，當(dāng)時(shí)，且；

   （2）；

   （3），

試求：（1）證明：任意， ，都有；

        （2）是否存在正整數(shù)，使得是25的倍數(shù)，若存在，求出所有自然數(shù)；若不存在說(shuō)明理由． （階乘定義：）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

設(shè)是定義在實(shí)數(shù)上的函數(shù)，是定義在正整數(shù)上的函數(shù)，同時(shí)滿足下列條件：

   （1）任意，有，當(dāng)時(shí)，且；

   （2）；

   （3），

試求：（1）證明：任意， ，都有；

（2）是否存在正整數(shù)，使得是25的倍數(shù)，若存在，求出所有自然數(shù)；若不存在說(shuō)明理由．

解：（1）當(dāng)時(shí)，， ，

若，則得，不可能，舍去 

當(dāng)時(shí)，，得，

若，則，，，，

同理，若，任意，

，都有

   （2）

由（1）可得為單調(diào)減函數(shù)

得

…

相乘得： …① 

又由①式得：

…

，

相加得：，

，，，，，，，，

由于當(dāng)時(shí)，能被25整除

綜上，存在正整數(shù)，當(dāng)或時(shí)，是25的倍數(shù)