Question

10．已知橢圓的中心在坐標原點，右焦點F的坐標為（3，0），直線L：x+2y-2=0交橢圓于A．B兩點，線段AB的中點為$M（1，\frac{1}{2}）$；
（1）求橢圓的方程；
（2）動點N滿足NA⊥NB，求動點N的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用點差法，結合中點坐標公式，求橢圓的方程；
（2）動點N滿足NA⊥NB，動點N的軌跡是以M為圓心，AB為直徑的圓，即可求動點N的軌跡方程．

解答 解：（1）設橢圓方程為$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1，（m＞n＞0）$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）}}{m}=-\frac{{（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）}}{n}$
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=1
∴m=4n，m=n+9     
∴m=12，n=3．
橢圓方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）由$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1，與x+2y-2=0$得y²-y-1=0，
則y₁y₂=-1，y₁+y₂=1
因NA⊥NB，∴動點N的軌跡是以M為圓心，AB為直徑的圓，
$|{AB}|=\sqrt{（1+{2^2}）{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=5$，${r^2}=\frac{25}{4}$，
故動點N的軌跡方程為${（x-1）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{25}{4}$．

點評 本題考查橢圓方程，考查圓的方程，考查點差法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．