Question

如圖拋物線x²=2py的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)P（不過原點(diǎn)），做拋物線的切線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：|PA|=|AB|；
（Ⅱ）若過F、A的直線交準(zhǔn)線l于C，證明：四邊形PFBC為菱形．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意求出F的坐標(biāo)，設(shè)出p的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出PB的方程，求出A、B的坐標(biāo)，即可證明|PA|=|AB|；
（Ⅱ）若過F、A的直線交準(zhǔn)線l于C，求出C的坐標(biāo)，即可通過線段相等，與斜率關(guān)系證明：四邊形PFBC為菱形．
解答：證明：（Ⅰ）拋物線x²=2py的焦點(diǎn)為F（0，），準(zhǔn)線為l：y=-，過拋物線上一點(diǎn)P（a，b）（不過原點(diǎn)），做拋物線的切線，利用導(dǎo)數(shù)可得它的斜率為：；切線方程為：y-b=，分別交x軸于A（，0），
y軸于B點(diǎn)（0，）．|PA|===，
|AB|==；
所以：|PA|=|AB|；
（Ⅱ）FA的方程：，所以C的坐標(biāo)（，），顯然A是FC的中點(diǎn)，
|PF|==．
|FB|==．
所以四邊形是鄰邊相等的平行四邊形，所以是四邊形PFBC為菱形．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查拋物線的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離公式，考查計(jì)算能力．