Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線.

 （1）設(shè)F是C的左焦點(diǎn)，M是C右支上一點(diǎn). 若|MF|=2，求過M點(diǎn)的坐標(biāo)；（5分）

（2）過C的左頂點(diǎn)作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的

面積；（5分）

    （3）設(shè)斜率為的直線l2交C于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓相切，

求證：OP⊥OQ；（6分）

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】（1）雙曲線，左焦點(diǎn).

         設(shè)，則，       ……2分

         由M是右支上一點(diǎn)，知，所以，得.

         所以.                                       ……5分

    （2）左頂點(diǎn)，漸近線方程：.

         過A與漸近線平行的直線方程為：，即.

         解方程組，得.                      ……8分

         所求平行四邊形的面積為.                   ……10分

   （3）設(shè)直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切，故，

即 (*).

由，得.

        設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則.

        ，所以

       

         .

         由(*)知，所以O(shè)P⊥OQ.                      ……16分