Question

8．在正方體ABCD-A′B′C′D′中，過對角線BD′的一個平面交AA′于E，交CC′于F
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形
②四邊形BFD′E有可能是正方形
③四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形
④四邊形BFD′E有可能垂直于平面BB′D′D
以上結(jié)論正確的為①③④（寫出所有正確結(jié)論的編號）

Answer 1

分析 根據(jù)面面平行和正方體的幾何特征進行判斷，利用一些特殊情況進行說明

解答 解：解：如圖：
①由平面BCB₁C₁∥平面ADA₁D₁，并且B、E、F、D₁四點共面，
∴ED₁∥BF，同理可證，F(xiàn)D₁∥EB，故四邊形BFD₁E一定是平行四邊形，故①正確；
②若BFD₁E是正方形，有ED₁⊥BE，這個與A₁D₁⊥BE矛盾，故②錯誤；
③由圖得，BFD₁E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形ABCD，故③正確；
④當點E和F分別是對應(yīng)邊的中點時，平面BFD₁E⊥平面BB₁D₁，故④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題主要考查了正方體的幾何特征，利用面面平行和線線垂直，以及特殊情況進行判斷，考查了空間信息能力和邏輯思維能力