Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若且，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在處取得最大值，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）.

【解析】

當時，求得函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的符號，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

求得函數(shù)導數(shù)，構造新函數(shù)，求得的導數(shù)，分，，，四種情況討論，求得的單調(diào)性與最值，得出單調(diào)性，即可求解的極值，進而得到的范圍.

當時，，

則，

，

令，

，

∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

由已知得，

則，

記，

則，，

①當，時，

，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當時，，

當時，，

所以在處取得極小值也是最小值，不滿足題意.

②當時，時，

，函數(shù)單調(diào)遞增.

可得當時，，

當時，，

所以在處取得極小值也是最小值，不滿足題意.

③當時，當時，

，函數(shù)單調(diào)遞增，

時，，

在內(nèi)單調(diào)遞減，

所以當時，，

單調(diào)遞減，不合題意.

④當時，即，當時，

，單調(diào)遞減，

，當時，

，單調(diào)遞減，，

所以在處取得極大值也是最大值，符合題意.

綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.