Question

設(shè)l為曲線C：在點(diǎn)(1，0)處的切線.

(I)求l的方程；

(II)證明：除切點(diǎn)(1，0)之外，曲線C在直線l的下方

 

Answer 1

【答案】

(I)  (II)見解析

【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，寫出點(diǎn)斜式方程，最后化為一般式.要證曲線C在直線l的下方，只需轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小即可，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)完成最值的求解.

(I)設(shè)，則，所以，所以l的方程為.

(II)令，除切點(diǎn)外，曲線C在直線l的下方等價(jià)于且，.

滿足，且.

當(dāng)時(shí)，，所以，故單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，，所以，故單調(diào)遞增.

所以，對(duì)且，.

所以除切點(diǎn)外，曲線C在直線l的下方.

【考點(diǎn)定位】 本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查了運(yùn)算求解能力、推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.