Question

如圖，在多面體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于E，F兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h.

（Ⅰ）求側(cè)面ABB₁A₁與底面ABCD所成二面角的大�。�

（Ⅱ）證明：EF∥面ABCD；

（Ⅲ）在估測(cè)該多面體的體積時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用近似公式V_估=S_中截面·h來(lái)計(jì)算.已知它的體積公式是V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），

試判斷V_估與V的大小關(guān)系，并加以證明.

（注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面）

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：過(guò)B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過(guò)B1作B1G⊥PQ，垂足為G.如圖 ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1， ∠A1B1C1=90°， ∴AB⊥PQ，AB⊥B1P. ∴∠B1PG為所求二面角的平面角.過(guò)C1作C1H⊥PQ，垂足為H. 由于相對(duì)側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形B1PQC1為等腰梯形. ∴PG=（b－d），  又B1G=h，  ∴tanB1PG=（b＞d）， ∴∠B1PG=arctan，即所求二面角的大小為arctan. （Ⅱ）證明：∵AB，CD是矩形ABCD的一組對(duì)邊，有AB∥CD， 又CD是面ABCD與面CDEF的交線， ∴AB∥面CDEF.  ∵EF是面ABFE與面CDEF的交線， ∴AB∥EF.  ∵AB是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外， ∴EF∥面ABCD. （Ⅲ）V估＜V. 證明：∵a＞c，b＞d， ∴V－V估= =［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］ =（a－c）（b－d）＞0. ∴V估＜V.