Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{a_n-2ⁿ}為等差數(shù)列；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+1-n），若(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)(1+

1

b4

)…(1+

1

bn

)＞k

n+1

對一切n∈N^*且n≥2恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對關系式a_n+1=a_n+2ⁿ+1整理可得到）（a_n+1-2ⁿ⁺¹）-（a_n-2ⁿ）=a_n+1-a_n-2ⁿ=1，即數(shù)列{a_n-2ⁿ}為等差數(shù)列，
（2）根據(jù)（1）可求出數(shù)列{a_n-2ⁿ}的通項公式，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式，根據(jù)b_n=log₂（a_n+1-n），可得到b_n的表達式，設f（n）=(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)(1+

1

b4

)…（1+

1

bn

）×

1

n+1

，分析可得f（n）的最小值，結(jié)合題意即可得答案．

解答：解：（1）（a_n+1-2ⁿ⁺¹）-（a_n-2ⁿ）=a_n+1-a_n-2ⁿ=1
故數(shù)列{a_n-2ⁿ}為等差數(shù)列，且公差d=1．
a_n-2ⁿ=（a₁-2）+（n-1）d=n-1，a_n=2ⁿ+n-1；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ+n-1，∴b_n=log₂（a_n+1-n）=n
設f（n）=(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)(1+

1

b4

)…（1+

1

bn

）×

1

n+1

，（n≥2）
則f（n+1）=(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)(1+

1

b4

)…（1+

1

bn

）×（1+

1

bn+1

）×

1

n+2

，
兩式相除可得

f(n+1)

f(n)

=（1+

1

bn+1

）×

n+1

n+2

=

n+2

n+1

＞1，
則有f（n）＞f（n-1）＞f（n-2）＞…＞f（2）=

3

2

，
要使(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)(1+

1

b4

)…(1+

1

bn

)＞k

n+1

對一切n∈N^*且n≥2恒成立，
必有k＜

3

2

；
故k的取值范圍是k＜

3

2

．

點評：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學歸納法和不等式的有關知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，考查學生是否具有審慎思維的習慣和一定的數(shù)學視野．