Question

【題目】如圖，已知拋物線，設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與拋物線相交于兩點(diǎn)，拋物線在、兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，直線，分別與軸交于、兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程

（2）當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，記的面積為，的面積為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）4

【解析】

（1）首先設(shè)出，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線，的方程，聯(lián)立得到交點(diǎn)的坐標(biāo).再設(shè)出直線的方程為，代入拋物線，利用根系關(guān)系即可得到點(diǎn)的軌跡方程.

（2）首先根據(jù)切線，的方程得到，，從而得到，.利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式得到，從而得到.令，得到，再利用基本不等式即可得到的最值.

（1）因?yàn)閽佄锞�，所以，.

設(shè)，，，.

則切線，的方程分別為和.

聯(lián)立解得交點(diǎn)的坐標(biāo)為:，.

設(shè)直線的方程為，代入，

整理得：，

所以，，且.

所以，，于是，

故點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）因?yàn)榍芯�的方程為，

令得到，同理：.

所以.

又，故.

由（1）可知，

又點(diǎn)到直線的距離為，

所以.

所以.

令，，則.

①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.

所以；

②當(dāng)時(shí)，

，，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.

所以；

綜上所述：的最小值為.