Question

(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an＝4Sn＋1成立.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn＝log3|an|，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T(mén)n, 求證：Tn＜．

Answer 1

（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）由已知，計(jì)算a1＝4S1＋1a1＝－

又由得an＋1－an＝4an＋1

推出數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－，公比為－的等比數(shù)列.

（2）由bn＝log3|an|＝log3|(－)n|＝n

得到，利用“裂項(xiàng)相消法”計(jì)算得

(1＋――)“放大”即得證.

試題解析：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝4S1＋1a1＝－

又由得an＋1－an＝4an＋1

∴＝－ (n∈N*) 4分

即數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－，公比為－的等比數(shù)列，

∴an＝(－)n, (n∈N*) 6分

（2）∵bn＝log3|an|＝log3|(－)n|＝n

∴ 8分

∴Tn＝[(1－)＋(－)＋(－)＋ ＋(－)]

＝(1＋――)＜·＝ 12分

考點(diǎn)：1.等比數(shù)列；2.數(shù)列的求和、“裂項(xiàng)相消法”.