Question

已知M（-3，0）﹑N（3，0），P為坐標平面上的動點，且直線PM與直線PN的斜率之積為常數m（m≥-1，m≠0）．
（1）求P點的軌跡方程并討論軌跡是什么曲線？
（2）若，P點的軌跡為曲線C，過點Q（2，0）斜率為k₁的直線?₁與曲線C交于不同的兩點A﹑B，AB中點為R，直線OR（O為坐標原點）的斜率為k₂，求證k₁k₂為定值；
（3）在（2）的條件下，設，且λ∈[2，3]，求?₁在y軸上的截距的變化范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據斜率公式得出，然后分情況討論曲線類型；
（2）首先根據（1）求出曲線方程，然后聯立直線方程和曲線方程并利用韋達定理得出y₁+y₂，y₁y2，從而求得R的坐標，進而得出k₁k₂的值．
（3）根據得y₂=-λy₁然后代入（2）中①②式，從而得出，然后根據在λ∈[2，3]上單調遞增調得出，，即可得出結果．
解答：解：（1）設p（x，y）
由，得y²=m（x²-9），
若m=-1，則方程為x²+y²=9，軌跡為圓（除A B點）；
若-1＜m＜0，方程為，軌跡為橢圓（除A B點）；
若m＞0，方程為，軌跡為雙曲線（除A B點）．
（2）時，曲線C方程為，設?₁的方程為：x=ty+2
與曲線C方程聯立得：（5t²+9）y²+20ty-25=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則①，②，
可得，．
（3）由得y₂=-λy₁代入①②得：③，④，
③式平方除以④式得：，
而在λ∈[2，3]上單調遞增，，，?₁在y軸上的截距為b，=，．
點評：本題考查了軌跡方程、函數值域以及直線與圓錐曲線的綜合問題，對于直線與圓錐曲線一般聯立方程設而不求的方法求解，此題綜合性強，屬于難題．