Question

已知函數(shù)f(x)=ln

1+x 1-x

，g（x）=x+ax³，a為常數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域M；
（2）若a=0時(shí)，對(duì)于x∈M，比較f（x）與g（x）的大��；
（3）討論方程f（x）=g（x）解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由題意，真數(shù)大于0，可得不等式，從而確定函數(shù)f（x）的定義域M；
（2）a=0時(shí)，h（x）=ln

1+x 1-x

-x．求導(dǎo)函數(shù)可知h（x）在M=（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)，從而可解；
（3）討論方程f（x）=g（x）解的個(gè)數(shù)，即討論h（x）=f（x）-g（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．由于h′(x)=

1

2

(

1

1+x

+

1

1-x

)-1-3ax2=

x2(1-3a+3ax2)

1-x2

，故對(duì)a進(jìn)行討論，從而確定函數(shù)的零點(diǎn)．

解答：解：（1）由

1+x

1-x

＞0，得：-1＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的定義域M=（-1，1）．               …（3分）
（2）令h（x）=f（x）-g（x），則a=0時(shí)，h（x）=ln

1+x 1-x

-x．
又h′(x)=

1

2

(

1

1+x

+

1

1-x

)-1=

x2

1-x2

≥0（僅在x=0時(shí)，h'（x）=0）
∴h（x）在M=（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)，…（6分）∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h（x）＜h（0）=0，f（x）＜g（x）；
當(dāng)x=0時(shí)，h（x）=h（0）=0，f（x）=g（x）；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＞h（0）=0，f（x）＞g（x）．     …（8分）
（3）討論方程f（x）=g（x）解的個(gè)數(shù)，即討論h（x）=f（x）-g（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
因?yàn)閔（x）=ln

1+x 1-x

-x-ax3，所以h′(x)=

1

2

(

1

1+x

+

1

1-x

)-1-3ax2=

x2(1-3a+3ax2)

1-x2

①當(dāng)a＜0時(shí)，1-

1

3a

＞1，x²＜1，所以h'（x）═

3ax2[x2-(1- 1 3a )]

1-x2

≥0（僅在x=0時(shí)，h'（x）=0）h（x）在M=（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)，
又h（0）=0，所以h（x）有唯一零點(diǎn)；                               …（9分）
②當(dāng)a=0時(shí)，由（2）知h（x）有唯一零點(diǎn)；            …（10分）
③當(dāng)0＜a≤

1

3

時(shí)，1-

1

3a

≤0，0≤x²＜1h'（x）═

3ax2[x2-(1- 1 3a )]

1-x2

≥0（僅在x=0時(shí)，h'（x）=0）
所以h（x）在M=（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)，又h（0）=0，所以h（x）有唯一零點(diǎn)；                    …（11分）
④當(dāng)a＞

1

3

時(shí)，0＜1-

1

3a

＜1，h'（x）=

3ax2(x2+1- 1 3a )

1-x2

=

3ax2(x+ 1- 1 3a )(x- 1- 1 3a )

1-x2

x∈(-1  ，  -

1- 1 3a

 )，或x∈( 

1- 1 3a

  ，  1)時(shí)，h'（x）＞0，h（x）遞增，x∈(-

1- 1 3a

  ，  

1- 1 3a

)時(shí)，h'（x）＜0，h（x）遞減．h(-

1- 1 3a

)＞h(0)=0，h(

1- 1 3a

)＜h(0)=0；
x→-1⁺時(shí)，h（x）→-∞；  x→1^-時(shí)，h（x）→+∞，
∴h（x）在區(qū)間(-1  ，  -

1- 1 3a

 )，(-

1- 1 3a

  ，  

1- 1 3a

)及( 

1- 1 3a

  ，  1)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)．
…（13分）
綜上，當(dāng)a≤

1

3

時(shí)，方程f（x）=g（x）有唯一解；
當(dāng)a＞

1

3

時(shí)，方程f（x）=g（x）有三個(gè)解．       …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域，考查利用單調(diào)性比較大小，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，有一定的難度．