Question

D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a₁，a₂，…a_n 都是正數(shù)，且 a₁•a₂…a_n=1，求證：（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥2ⁿ．

Answer 1

解：∵a₁＞0，∴根據(jù)基本不等式，得1+a₁≥2
同理可得，1+a₂≥2，1+a₃≥2，…，1+a_n≥2
注意到所有的不等式的兩邊都是正數(shù)，將這n個(gè)不等式的左右兩邊對(duì)應(yīng)相乘，得
（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）≥2ⁿ•
∵a₁•a₂…a_n=1，
∴（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）≥2ⁿ•1=2ⁿ，即原不等式成立．
分析：根據(jù)基本不等式，得1+a₁≥2，1+a₂≥2，…，1+a_n≥2．再由不等式的各項(xiàng)都大于0，將此n個(gè)不等式左右兩邊對(duì)應(yīng)相乘，結(jié)合a₁•a₂…a_n=1即可證出要證明的不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題給出n個(gè)正數(shù)a₁、a₂、…a_n，求證關(guān)于a₁、a₂、…a_n 的一個(gè)不等式恒成立．著重考查了不等式的基本性質(zhì)和運(yùn)用基本不等式證明不等關(guān)系成立的知識(shí)，屬于中檔題．