Question

如圖，圓柱的高為2，底面半徑為3，AE、DF是圓柱的兩條母線，B、C是下底面圓周上的兩點，已知四邊形ABCD是正方形．
（Ⅰ）求證：BC⊥BE；
（Ⅱ）求正方形ABCD的邊長；
（Ⅲ）求直線EF與平面ABF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)AE⊥底面BEFC，可得AE⊥BC，而AB⊥BC，又AE∩AB=A滿足線面垂直的判定定理所需條件，則BC⊥面ABE，根據(jù)線面垂直的性質可知BC⊥BE；
（II）根據(jù)題意可知四邊形EFBC為矩形則BF為圓柱下底面的直徑，設正方形ABCD的邊長為x，根據(jù)BE²+EF²=BF²，建立方程，解之即可求出所求；
（III）以F為原點建立空間直角坐標系，求出面AEF的法向量

n

，然后求出法向量與向量

EF

的余弦值即可求出直線EF與平面ABF所成角的正弦值．

解答：解：（I）∵AE是圓柱的母線∴AE⊥底面BEFC，（1分）
又BC?面BEFC∴AE⊥BC（2分）
又∵ABCD是正方形∴AB⊥BC
又AE∩AB=A∴BC⊥面ABE（3分）
又BE?面ABE∴BC⊥BE（4分）
（II）∵四邊形AEFD為矩形，且ABCD是正方形∴EF

∥

.

BC
∵BC⊥BE∴四邊形EFBC為矩形∴BF為圓柱下底面的直徑（1分）
設正方形ABCD的邊長為x，則AD=EF=AB=x
在直角△AEB中AE=2，AB=x，且BE²+AE²=AB²，得BE²=x²-4
在直角△BEF中BF=6，EF=x，且BE²+EF²=BF²，的BE²=36-x²（2分）
解得x=2

5

，即正方形ABCD的邊長為2

5

（3分）
（III）解：如圖以F為原點建立空間直角坐標系，
則A（2

5

，0，2），B（2

5

，4，0），E（2

5

，0，0），

FA

=（2

5

，0，2），

FB

=（2

5

，4，0），

FE

=（2

5

，0，0）（1分）
設面AEF的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • FA =(x，y，z)•(2 5 ，0，-2)=2 5 x-2z=0 n • FB =(x，y，z)•(2 5 ，4，0)=2 5 x-4y=0

（3分）
令x=1，則y=

5

2

，z=

5

，即

n

=（1，

5

2

，

5

）（4分）
設直線EF與平面ABF所成角的大小為θ，則sinθ=|COS＜

n

，

EF

＞|=|

n • EF

| n |•| EF |

|=|

2 5

2 5 • 5 4 +1+5

|=

2 29

29

（6分）
所以直線EF與平面ABF所成角的正弦值為

2 29

29

．

點評：本題主要考查了線線位置關系，線面所成角的度量，以及利用空間向量的方法求解立體幾何問題，屬于中檔題，考查空間想象能力，計算能力．