Question

【題目】已知函數，若是函數的唯一極值點，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】分析：由f（x）的導函數形式可以看出ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點，

令g（x）=ex﹣kx，g′（x）=ex﹣k，需要對k進行分類討論來確定導函數為0時的根．

詳解：∵函數的定義域是（0，+∞），

∴f′（x）=．

x=1是函數f（x）的唯一一個極值點

∴x=1是導函數f′（x）=0的唯一根．

∴ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點，

令g（x）=ex﹣kx

g′（x）=ex﹣k

①k≤0時，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）時單調遞增的

g（x）的最小值為g（0）=1，g（x）=0無解

②k＞0時，g′（x）=0有解為：x=lnk

0＜x＜lnk時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減

lnk＜x時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增

∴g（x）的最小值為g（lnk）=k﹣klnk

∴k﹣klnk＞0

∴k＜e，

由y=ex和y=ex圖象，它們切于（1，e），

綜上所述，k≤e．

故答案為：A．