Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin2x-2cos2x+a（a∈R，a為常數(shù)），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[-

π

4

，

π

6

]上的最小值為4，求a的值．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和兩角差的正弦公式，將函數(shù)f（x）化為y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)，再利用三角函數(shù)周期公式計(jì)算其周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過解不等式求得此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）先求內(nèi)層函數(shù)的值域，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的最大值，利用已知列方程即可解得a的值

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sin2x-2cos2x+a
=

3

sin2x-（1+cos2x）+a
=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）-1+a
=2sin(2x-

π

6

)+a-1
∴T=

2π

2

=π
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

∴單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z
（Ⅱ）∵-

π

4

≤x≤

π

6

∴-

2π

3

≤2x-

π

6

≤

π

6

∴-1≤sin(2x-

π

6

)≤

1

2

當(dāng)sin(2x-

π

6

)=-1時(shí)，由f（x）_min=-2+a-1=4
得a=7

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角變換公式在三角化簡(jiǎn)和求值中的應(yīng)用，y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，整體代入的思想方法，屬中檔題