Question

17．兩個(gè)等差數(shù)列{a_n}：1，5，9，…和{b_n}：3，10，17，…各取前200項(xiàng)，求公共項(xiàng)的總和．

Answer 1

分析 由已知得公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列{c_n}是以c₁=17為首項(xiàng)，d=28為公差的等差數(shù)列，從而c_n=28n-11，求出a₂₀₀=797，b₂₀₀=1396，由c_n=28n-11≤797，得到公共項(xiàng)28項(xiàng)，由此能求出公共項(xiàng)的總和．

解答 解：等差數(shù)列{a_n}：1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，…
等差數(shù)列{b_n}：3，10，17，24，31，38，45，…
∴公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列{c_n}是以c₁=17為首項(xiàng)，d=45-17=28為公差的等差數(shù)列，
∴c_n=17+（n-1）×28=28n-11．
a_n=1+（n-1）（5-1）=4n-3，b_n=3+（n-1）（10-3）=7n-4，
∴a₂₀₀=4×200-3=797，b₂₀₀=7×200-4=1396，
∴c_n=28n-11≤797，解得n≤28$\frac{6}{7}$，
c₂₈=773，c₂₉=801，
∴公共項(xiàng)28項(xiàng)，
∴公共項(xiàng)的總和：${S}_{28}=28×17+\frac{28×27}{2}×28$=11060．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．