Question

17．在邊長為1的等邊△ABC中，P為直線BC上一點，若$\overrightarrow{AP}=（2-λ）\overrightarrow{AB}+2λ\overrightarrow{AC}，λ∈R$，則λ=-1，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由P為直線BC上一點便可得出$\overrightarrow{AP}=（1-k）\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}$，這樣由平面向量基本定理即可得出2-λ+2λ=1，求出λ=-1，從而得出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}=（3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AC}$，根據(jù)條件進行數(shù)量積的運算便可求出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：如圖，
P為直線BC上一點；
∴設(shè)$\overrightarrow{BP}=k\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=k（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AP}=（1-k）\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AP}=（2-λ）\overrightarrow{AB}+2λ\overrightarrow{AC}$；
∴2-λ+2λ=1；
∴λ=-1；
∴$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}=（3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AC}$
=$3\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-2{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$3×1×1×\frac{1}{2}-2×{1}^{2}$
=$-\frac{1}{2}$．
故答案為：-1，-$\frac{1}{2}$．

點評 考查共線向量基本定理，平面向量基本定理，向量的數(shù)乘運算，以及向量數(shù)量積的運算及計算公式．